Logarithmische Tafeln

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Einriclituiig und Gebranch der Tafeln.

I. Tafel.

X.

xJiese Tafel entbält die Briggiscben Logarithmen aller ganzen Zahlen
zwischen l und lOOOO mit fünf, von loooo bis loSC'O mit sechs Declmal-
stellen, jedoch ohne KenoziiFer. Auf der ersten Seite finden sich die Zah*
len von i bis 420 und die zugehörigen Logarithmen unmittelbar neben
einander; von der folgenden Seite an bis zu Ende ist aber die Tafel mit
doppelten Eingängen versehen. Die Columne o enthält den Logarithmen
der in der Columne N. in derselben Zeile befindlichen Zahl, die Columnen

I, 2y 3) 9 aber enthalten die Logarithmen einer Zahl, welche

gefunden wird , wenn man an die in der Columne N. in derselben Zeile

befindliche Zahl die Ziffern i, 2, 3 9 zur Rechten anhängt. Von

diesen letztem Logarithmen sind aber nur die drei letzten Decimalstellen
gegeben, indem man die beiden ersten, die für eine Menge auf einander
folgender LogaritLmen dieselben bleiben , in der Columne o findet ; wenn
hier der Raum leer ist , so gelten die zunächst obeihnlb stehenden Ziilern,
und nur dann nimmt man die zunächst unterhalb stehenden, wenn vor den
schon gefundenen drei letzten Decimalstellen ein Sternchen sich befindet«
Die Columne P. P. giebt die Proportional- Theile für die fünfte Ziffer
einer gegebenen Zahl und zwar beziehen sich die Ganze dieser Proportio-
nal -Theile auf die letzte Decimalstelle der Logarithmen.

Jede Seite enthalt aufserdem die Verwandlung der Zahlen in der
Columne N. in Grade, Minuten und Secunden, nachdem ihnen eine Null
zur Rechten angehängt und sie als Secunden betrachtet worden. Hängt
man statt der Null eine andere Ziffer zur Rechten an^ so roufs man zur
gefundenen Anr.ahl von Graden, Minuten und Secunden so viele Secunden
addiren, als der Wertb jener angehängten Zifier beträgt«

S

IV

Die aufserbalb der Einfassung jeder Seite bedndliclien Zahlen N. und
L. sind die Anfangsziffern der ersten Zahl der Seite und ihres LfOgarlthmen;
tfie erleichtern das Aufschlagen des Logarithmen.

Die Erklärung der Zahlen S, T| V und der Columne Cprr. steht
Seite IX.

I

2-

Zu einer geg^ebenen ganzen Zahl den Briggischen Lo-
garithmen mit fünf Decimalstellen eu finden, roufs man drei
Fälle unterscheiden: ob die gegebene Zahl zwischen i und 420 9 oder
zwischen 420 und loooo fallt, oder ob sie gröfser ist als loooo. Im
ersten Falle Endet sich auf der ersten Seite der Logarithine unmittelbar'
neben der Zahl und es ist nur noch die gehörige KeunzitiFer beizufügen«
Z. B. :

log 8 = 0^ 90309
log 91 = 1,95904

log 397 = 2,59879

Im zweiten Falle sucht man dieselbe mit Ausschlufs der letzten Ziffer zur
Rechten in der (lolumne N; dann finden sich in derselben Zeile zu An*
fange der Columne o die beiden ersten, in der mit der letzten Ziffer be>
zeichneten Columne aber die drei letzten Decimalstellen des Logarithmen,
denen zusammengenommen nur noch die Kennziffer vorzusetzen ist, um
den gesuchten Logarithmen vollständig zu haben, Z. B. :

log 1324 = 3, 12189
log 3084 = 3f 489 II
log 3637 = 3f 56074

Im drittrn Falle bestimmt man für die vier ersten Ziffern zur Linl^en in
der gegebenen Zahl den liOgarithmen wie vorher, jedoch ohne Kennziffer;
dann sucht man die Differenz zwischen diesem Logarithmen und dem
nächstfolgenden der Tafel, und für diese Differenz in der Columne P. P.
den Proportional- Theil für die fünfte Ziffer der gegebenen Zahl, der zu
dem vorhergefunüenen Logarithmen addirt wird. Wenn die* Zahl aus mehr
als fünf Ziffern besteht, so nimmt man für die sechste Ziffer den zehnten
Theil, für die siebente den hundertsten Theil des angegebenen Proportio-
nal- Tlieils und addirt dieselben gleichfalls zum vorher gefundenen J^oga«
rithmen; die achte und die folgenden Ziffern (gewöhnlich auch schon die
siebente) haben keinen. Einflufs mehr auf die Proportional -Theile. Dem
auf diese Weise erhaltenen Logarithmen wird die geborige Kenn^&iffer vor-
gesetzt, um den vollständigen Logarithmen zu haben. Z. ß. : «

Um log 89038 'u finden , bat man

log 8903 =--v94954
Prop. Th. für die 5te Ziffer 8 = 4 bei der Differenz 5

also log 89038= 4/ 94958

Ebenso i«t für log. 786537

log 7865 =--v8957o

Prop. Tb, für die ßle Ziffer 3 = 'f 5\ , . , T^•^•

^^ > bea der Differenz 5

— 6te — 7 = 0^3/ ^

aUo log 786537 = 5, 89572

Endlicb ut für log 2345685

log 2345 =...,37014
Prop. Tb. für die 5te Ziffer 6 =3 I If 4]

— — 6te — 8 = Jrs) te» ^er Differenz 19

— 7te — 5= Oyij

aUu log 2345685 = 6^ 37027

Die Auffindung der Logarithmen der gewöbnlicben Brücbe und der Deci-
maibriiche lafst sieb bekanntlich auf die Auffindung der Liogarithmen gan-
zer Zahlen zurückführen.

•

3-
Um zu einem Briggiscben Logarithmen mit fünf Deci-
malstellen die zugehörige Zahl zu finden, sucht man in* der
Columne o die beiden ersten Decimalstellen des Logarithmen; finden sich
die drei letzten ebendaselbst, so ist die in der Columne N. stehende Zahl
die gesuchte, wo nicht, so suche man dieselben in den Columnen i, 2,

3 9 entweder in der nämlichen Zeile oder in den nächstfolgen-

den, oder auch in den mit Sternchen bezeichneten Stellen der vorherge-
henden. Aus derjenigen Zeile, in welcher man die Ziffern findet, schreibe
man die in der Columne N. befindliche Zahl ab, indem man ihr zur Rech-
ten diejenige Ziffer beifügt, mit welcher die die drei letzten Decimalstel-
len enthaltende Columne bezeichnet ist. Bei der auf diese Weise gefun-
denen Zahl , sondert man , wenn die Anzahl der Ziffern in der gefundenen
Zahl der Kennziffer des gegebenen Logarithmen nicht entspricht, entweder
die Ganzen von dem Decimalbruche durch ein Comma ab, oder fügt Nullen
den gefundenen drei oder vier Ziffern an, um die dem Logarithmen ent-
sprechende Zahl zu erhalten. Z. B. :

num. log 2/77305 = 593
xium. log I, 69329 = 49, 35

num. log 5; 74076 = 550500

U

VI

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Gewöhnlich wird man die drei letzten Decimalstellen des Logarithmen in
keiner Columne antreffen ; dann zieht man die nächst kleineren der Tafel
von den gegebenen ah und sieht in der Columne P. P. hri der gehörigen
Differenz nach, welcher Ziffer der erhaltene Rest als ProportionaUTheil
zugehört; diese Ziffer fugt man als fünfte Ziffer der den nächst kleineren
Decimalstellen entsprechenden Zahl zur Rechten bei. Wenn sich jener
Rest nicht genau unter den Proportional -Th eilen findet» so nimmt man
statt seiner den nächst kleineren Proportional »Theil und die zugehöriga
Ziffer, verzehnfacht den Ueberschufs des Restes über diesen Proportional*
Theil, und sucht für diese Zahl wiederum die zugehörige Ziffer, weichet
die sechste der gesuchten Zahl wird. Indessen ist schon diese sechste
Ziffer fast immer um eine oder mehrere Einheiten ungewils; für folgende
Ziffern , wenn dergleichen durch die Kennziffer des gegebenen Logarithmen
nöthig gemacht werden, mufs man Nullen nehmen. Z. B. :

Um num. log 2/61735 zu finden, hat mau

num. log 2/61731 =414; 3 und Re&t=?4
Prop. Th. 4 bei der Diff. 1 1 giebt 5te Ziffer = 3 und Rest = 0^7

Prop. Th. 7 bei der Diff. 1 1 giebt 6te Ziffer = 6

also num. log 2, 61735 = 414; 336

Ebenso für num. log y, 24073 ist zuerst

num. log 7; 24055 = 1740* • • N und Rest ssr i8
Prop. Th. 18 bei der Diff. 25 giebt 5te Ziffer = 7- • • und Rest :55: 0; 5

Prop. Tb« 5 bei der Diff. 25 giebt 6te Ziffer = 2 • •

also num. log 7/24073=17407209; "

n. Tafel;

4-

Die zweite Tafel enthält die Briggischen Logarithmen der Sinns und
Tangenten, also auch der Cosinus und Cotangenten für alle Grade des Qua«
dranten mit fünf Decimalstellen, und zwar stehen die Grade von O^ bis
45° oben, die Complemente von 90^ bis 45^ unten auf denselben Seiten.
Zu den ohern Graden werden die Minuten in der links liegenden mit einem
Accent bezeichneten Columne abwärts, zu den untern Graden aber in der
rechts liegenden, ebenso bezeichneten Columne aufwärts gezahlt. Bei den
eisten, also auch bei den letzten sechs Graden gehen die Winkel -Argu

*

mente von zehn zu zehn Secunden, vom siebenten und zugleich vom drei
und achtzigsten Grade aber bis zum Ende der Tafel von Minute zu Minute.
In der ganzen Ausdehnung der Tafel finden sich neben jeder Columne der

VII

Sinus oder der Tangenten die sugehörigen Differenzen ; bei den Cosinus sind
dieselben für die ersten Grade, ihrer Kleinheit wegen, nicht angegeben,
die Differensen der Cotangenten aber sind immer denen der Tangenten
gleich. Die Columnen F. F« geben die Froportional • Theile der einselnen
Secunden für jede Differenz.

5.

Um SU einem in Graden, Minuten und Secunden gege»
benen Winkel den Logaritbmen einer zugehörigen Kreis-
function zu finden, wird man zwei Fälle unterscheiden miissen, ob
nämlich der^Winhel in die ersten (oder letzten) sechs Grade des Quadran-
ten fällt, oder nichL Im ei'sten Falle erhält man den gesuchten Logarith-
men für die Grade, Minuten und Zehner der Secunden des gegebenen
Winhels unmittelbar aus der Tafel, und addirt hiezu den zehnten Theil
des Froducts aus der nebenstehenden Differenz in die £iner der Secun-
den, um den vollständigen Logarithmen zu erhalten. Z. B, Wena log
Sin 0°52'27" gesucht wird, so ist

log Sin o°52'20" = 8/ 18249
138 X7 _

10

97

also log Sin o^ 52' 27'^ = 8, 18346

Ebenso ist log Tang 89° I2' 48" = 1/ 86230

Im zweiten Falle, wo der gegebene Winkel zwischen 6° und 84® fällt,
findet man den Logarithmen einer zugehörigen Kreisfunction unmittelbar
nur für die Grade uod Minuten des Winkels ; man sucht aUdann für die
nebenstehende Differenz den der gegebenen Anzahl von Secunden zugehö-
rigen PropoTtioDal- Theil in der Columne F. F. und addirt oder subtrahirt
ihn bei dem gefundenen Logarithmen, \e nachdem dieser kleiner oder
gröfser ist als der folgende Logarithme der Tafel. Z. B. £s werde log
Taug 41°I7'35'' gesucht; man hat

log Tang 41° 17' =9/ 94350
Frop. Tb, bei der Differenz 25 für 35"= -J- 15

also log Tang 4l''l7'35'' = 9/9436^

Ebenso ist log Cos 39®I4'35'' = 9,88900.

6.

Um zu dem gegebenen Logarithmen einer Kreisfunction
den zugehörigen Winkel zu finden, wird man den Logarithmen
in der Columne der Kreisfunction aufsuchen, und wenn man ihn genau ia
derselben findet, zugleich auch den zugehörigen Winkel erhalten. Steht

^ \

VIII

]

aber derselbe nicht selbtt in der Tafel , so fällfc er zwischen zwei
unmittelbar auf einander folgende ; dann nimmt man für den gesuchten
Winkel den kleineren der jenen beiden Logarithmen zugehörigen Winkel,
und erhält denselben auf diese Weise , wenn er in die ersten oder letzten
sechs Grade des Quadranten fällt, in Graden, Minuten und Zehnern von
Secunden , sonst aber nur in Graden und Minuten. Um im ersten Falle
die Einer der Secunden zu finden , wird man den Unterschied zwibchea
dem gefundenen und gegebenen Logarithmen verzehnfachen und durch die
Dimeren;: der beiden Tafel -Logarithmen dividiren; im zweiten Falle aber
giebt jener Unterschied in der Columne P. F. bei der gehörigen Differenz
die Secunden. Z. B. Man findet unmittelbar

ang. log Tang 8/ 22469 = 0°57'40"

ang. log Cos 9; 47330 = 72^42' o"
der zu log Tang 8; 67769 gehörige Winkel aber findet sich, durch

ang. log Tang 8; 67757 = 2°43'30''

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also ang. log Tang 8f 67769 = 2"43'33''

Ebenso erhält man ang. log Cotg 8/ 20894 =* 89*^4'23''.

Für den zu log Sin 9, 86398 gehörigen Winkel erhält man

ang. log Sin 9,86589 = 47 "^5'
Secunden bei der Diff. 11 für den Frop. Th. 9 = 49'^

also ang. log Sin 9,86598 = 47°^5'49'-
Auf gleiche Weise ist

ang. log Sin 9, 83677 = 43°22'r3"
ang. log Cos g, 88645 = 39°39' fc"
ang. log Tang 0,03525 = 47°I9'2l''
ang. log Cotg 9, 93036 = 49''34'ä7"

1

Mit Hülfe der ersten Tafel findet man aus dem Logarithmen der
Kreisfunction eines gegebenen Winkels diese Function selbst, und umge-
kehrt aus der Function den Logarithmen derselben und hieraus den zuge-
hörigen Winkel. Z. B. :

Tang 4I°I7'35" = num. log 9,94365 = 0,87832
ang. Cotg 0,85184 = «Dg. log Cotg 9,93036 = 49°34'«7"-

8.

*Fur Winkel, die nahe beim Anfange oder beim Ende de» Quadranten
liegen, ist die Interpolation, der grofsen Di£Ferenzen vt^tgen, etwas unbe-

Wenn cler Logarithme des Cosinus oder der Cotangente eines Winitels
zwiAcben 87^ und 90° gesucht wird^ so nimmt man statt dessen den Loga*
ritlimen des Sinus oder der Tangente der Ergänzung des Winkels zu 90^
auf die beschriebene Art; wenn aber der Logarithme der Tangente eines
Winkels zwischen 87° und 90° gesucht wird, so ist derselbe die arithme-
tische Ergänzung zu i vom Logarithmen der Tangente, welche der Ergän*
zung des gegebenen Winkels zu 90^ zugehört. Z. B. :

log Cos 87^32*31" = log Sin 2°27'29'' = 8^63234
log Cotg88^i4'il'' = log Tang l°45'49" = 8^48842
logTang88°l9'33'' = C. log Tang 1^40^27'' c= 1^53420
Bei der umgekehrten Aufgabe: Zu dem gegebenen Logarithmen eine»
Sinus oder einer Tangente den zugehörigen (zwischen 0° und 3® oder
zwischen 87^ und 90° fallenden) Winkel zu finden, zieht man von dem
Logarithmen die Zahl 4^ 685 ab und sucht in der Columne o der ersten
Tafel den nächst kleineren Logarithmen, dessen zugehörige Zahl, als Se-
cunden betrachtet, näherungsweise den gesuchten Winkel giebt, für wel-
chen man nun die Zahl S oder T sucht, diese vom gegebenen Logarithmen
abzieht und für den Rest als Logarithmen die correspondirende Zahl sucht,
die hinlänglich genau den gesuchten Winkel giebt« Z. B. Welchem Win-
kel gehört log Tang = S, 64362 zu? Man hat S, 64362 — 4^ 685 = 3f 95862
und die zugehörige Zahl 9091'S für welche T = 4f 68.5855 und
8/ 64362 — 4f 685855 «= 3, 957765 » welchem Logarithmen die Zahl 9073, 3
oder der Winkel 2^3I^I3''3 zugehört.

Der Gebrauch der Zahlen S und T ist nicht besonders vortheilhaft,
wenn die Winkel -Argumente, wie dies in der zweiten Tafel geschieht«
von xo'^ zu 10'' fortgehen; immer aber ist der Gebrauch der Columne
Corr. bei solchen trigonometrischen Rechnungen zu empfehlen, wo man
aus einem gegebenen Win^«?I durch irgend eine Formel einen andern klei-
nen Winkel herleiten soll, wie dies z. B. in drr Astronomie häufig vor-
kommt. Hier wird die Zahl V ganz vemachläfsigt ; man nimmt anstatt des
Logarithmen des Sinus oder der Tangente eines Winkels oder Bogens^ den
Logarithmen der dem Winkel oder Bogen zugehörigen Anzahl von Secun-
den, und verbessert denselben durch Anwendung der Correction, die, wie
vorhin, bei den Sinus abgezogen, bei den Tangenten addirt wird. Wenn
man nachher zu der durch die Formel gefundenen Zahl als Logarithmen
des Sinus oder der Tangente eines kleinen Winkels diesen selbst finden
will, sucht man zuerst die dem Logarithmen entsprechende Zahl, .betrach-
tet dieselbe als Secunden^ und verwandelt sie in Grade, Minuten und

xn

Differens iuche man den Proportional • Tbeil in der neben A stehenden
Coluinne P. P- und ziehe ihn von dem für die drei ersten Decimalzi£Fern von
A in der Columne B gefundenen Werthe ab. Z. B. Aus log ar= 0^36173
und log b c= Of 23045 den Logarithmen der Summe zu finden, auche man
log a — log b =z O/ 13128 in A| ^fvo man findet

für A = o^ T31 B =r: O; 24045

Prop. Tb. für 28 bei der DiflF. 42 = — 12

flao f lix A s Of 13128 B = O/ 24033

log a = 0,36173

*°6 (* + **<) = O/ 60206

12.

Soll aus den Logarithmen zweier Gröfsen a und b, der
Logarithme der Differenz gefunden werden» so sei wieder
log a der gröfsere^ dann ist log a — - log b entweder kleiner oder gröfser
als O/ 30103. Im ersten Falle geht man mit log a — log b in die Columne
By im zweiten in die Columne C ein und nimmt das correspondirende C
oder B, dann ist für den ersten Fall

log (a^— b) = log a — C
fiir den zweiten

log (a — b) =s log a — B.
Findet sich log a — - log b im ersten Falle nicht unmittelbar in B, ao
nimmt man in dieser Columne den nächst vorhergehenden Werth und zu-
gleich sowohl das correspondirende C, als auch den Unterschied zwischen
dem gefundenen und gegebenen B, sucht fiir diesen Unterschied und für
die neben B stehende Differenz in der zu B gehörigen Columne P. P. den
Proportional Theil und addirt denselben zu dem gefundenen C. Im zwei-
ten Falle geht man von C auf B auf dieselbe Weise über, nur dafs der
bei C gefundene Proportional -Theil vom correspondirenden B abgezogen
wird. Z. B. Aus log a = 0^25042 und log b 1= O/ 19033 den Logarith-
men der Differenz zu finden | suche man log a — log b = 0^06009 ^° ^»
ao findet man

Für B c= o, 06017 = 0, 88817

Prop. Th. für 8 bei der Diff. 13 = +54

also für B = o, 06009 C = o, 88871

log a = o, 25042
log (a — b) = 9f 36171
Ebenso findet man aus log a =s o, 89042 und log b = o, 24797 den Loga-
rithmen von a — b , wenn man mit log .a — log b ss o^ 6424^ in C ein-
geht, wo man erhält

XIII

für C = O; 64231 B = o, 11231

Prop. Th. für 14 bei <ler Diff. Y7 * ' " ^=' — 4

also fiir C = o, 64245 B = o, 1 1227

log a = O; 89042
log (a — b) = O; 77815
Beim Gebraucbe der Proportional -Theile ist nocb zu bemerken , dafs
von der DiiFerene 20 bei A und B, und von der Differenz 80 bei C an,
die Columne der Proportional - Theile von B alle möglieben Werthe des
Argumenta und die zugehörigen Proportional «Theile enthält, bei A und G
aber jeder in der Columne P. P. vorkommende einem Argumente zugehö-
rige Proportional -Theil fiir alle folgende Argumente to lange gilt, bU ein
neuet Argument in der Columne vorkommt. £s gehört z. B. bei A für
die Differenz rso den Argumenten 3^49 5$ 6, 7 der Proportional - Theil i,
den Argumenten 8y99IO>II,I2 der Proportional »Theil 2| u. •• w. zu; für
die Argumente i und 2 «her ist derselbe =o«

u

a

e.

13-
Der Gebrauch der am Ende der ersten Tafel vorkommenden Loga-
rithmen ist für sich verständlich. Die ebendaselbst befindlichen Vielfache
des Modulus der Briggischen Logarithmen und des reciproken Modulus die-
nen, erstere zur Verwandlung der natürlichen Logarithmen in Briggische,
letztere zur Verwandlung der Briggischen in natürliche. Z. B. der Brig-
giscbe Logarithme des Bogens 206265'' , der dem Halbmesser gleich ist, fin-
det sich =5^3144251; um hieraus den natürlichen Logarithmen zu finden^
hat man

für 5 Ilf 512 925 464

— o, 3 o, 690 775 528

— o, Ol o, 023 025 851

— o^ 004 O; 009 210 340

O; 0004 O, 000 921 034

— c, 00002 o, 000 046 052

— o, 000005 Of 000 Ol I 513

O; 00 0000 t O, 000 000 230

also für 5/3144251 12,236 916 012

daher log nat 206265''= 12/ 2369160«

< .

IV

XIV

14-

Atn £n<1e der ciritten Tafel findet ticb eine Hülfitafel cur Bereclinung
der Briggitchen und natürlichen Logarithmen bis auf i6 Decimalstelleo,
Ton denen 14 verbürgt werden können. Der Gebrauch derselben ist fol*
gender :

Wenn zu einer Zahl der xugebörige Briggiscbe oder natiirlicbe Loga*
ritbme gefunden werden soll , so dividire man dieselbe durch die nächst*
gröfsere aus dem Froducte eines Einers in eine positive oder negative Po-
tenz von 10 bestehende Zahl , je nachdem die gegebene Zahl Ganza
enthält, oder ein ächter Decimalbruch ist. Z. B. für 3172 ist der Divisor

4, 10' = 4000 ; für o, 00247 ist derselbe 3. io~' = 3. = 0/ 003 ; für

4, 23 aber 5. 10^ = 5« Den erhaltenen Decimalbruch multiplicire man mit

einem Factor von der Form i -1 oder i, x , wo die Ziffer x die erste

lO

Decimalstelle des Bruchs zu 9 ergänzt« Giebt die Multiplication ein Pro-

x'

duct« dessen erste Decimalziffer nicht o ist. so mufs man mit i A

10
oder I,x^ wo x' die^rste Ziffer des Products zu 9 ergänzt, multipliciren.
Gewifs wird nun die erste Decimalziffer eine 9 sein, und man multiplicirt

das erhaltene Product mit i 4 — ^ oder i, oy , wo y die zweite Decimal-

loo ' ^ ^ ^

Eiffer zu 9 ergänzt und also o ist, wenn diese eine 9 war. Durch wie-
derholte Multiplicationen mit Factoren der angegebenen Form wird man et
dahin bringen , dab zuletzt die sämmtlichen Ziffern des Products aus Neu-
nen bestehen. Diese Multiplicationen brauchen nur bis auf soviel Decimal*
stellen ausgeführt zu werden, als man im Logarithmen haben will, auch
finden sonst mancherlei Abkürzungen der Jlechnung statt. Aus der Hülfsufel
nimmt man hierauf die Logarithmen der sämmtlichen nach und nach erhalte-
nen Factoren , addirt dieselben und zieht die Summe von dem ebenfalls in
der Tafel entweder unmittelbar befindlichen, oder durch die Addition dea
Logarithmen eines Einers zu dem einer Potenz von 10 zu erhaltenden Lo-
garithmen des -anfänglichen Divisors ab , um den gesuchten Logarithmen
SU finden. Z. B. Es soll der Briggiscbe und auch der natürliche Loga-
rithme der Zahl « = 3f 14T5926535897932 auf 14 Decimalstellen gefunden
werden. IVIan dividire die Zahl w durch 4 als den nächst höheren £iner^
so ist

-7 = 0,7853981633974483
4

und bieraus findet man folgende Factoren r

XV

0, 785398K533974483X 1/ 4

5?'

9 i>o *

O; 98960168388078486 X h Ol

o/ 999497 7 027395927» X i^ CXD05
0^999997 4 51 5909625 1 X if ooooo:^
O/ 99999 94 5 158586569 X i/ 0000005
^ O/ 99999 99 5' 58559 M8 X h 00000004

o, 999999 9 9 158558954 X h 000000008
O/ 99999999958558947

Die übrigen Factoren ergeben «ich ohne weitere Multiplicationi
hält man

Nun er-

Facforen

Bri

gg- Log.

Natürl. Log.

Tf2

0,07918

12460 47624 8

0, 18232 \S5^7 93954 6

I/05

0,02118

92990 69938 1

0,04879 01641 69432

IfOI

0, 00432

13737 82642 6

0,00995 03308 53 «68 I

i#ooo5

0,00021 70929 72230 2

0,00049 98750 41 651

T, 00000

2

0, oöooo

08685 88095 2

0,00000 19999 98000

1,00000

05

0, 00000

02171 47186 7

0,00000 04999 99875

1,00000

004

0,00000

00173 71778 9

0,00000 00399 99999 ^

1/ 00000

0008

0,00000

00034 74355 8

0,00000 00080 00000

I; 00000

00004

0,00000

ooooi 73717 8

0,00000 00004 00000

r, 00000

00000 I

0,00000

00000 04342 9

0,00000 00000 loooo

l,OOCOO

00000 04

0,00000

OOOCO 01737 2

0,00000 00000 04000

1,00000

00000 004

0, 00000

00000 00173 7

0,00000 00000 00400

I, oocoo

00000 0001

0,00000

00000 00004 3

0,00000 00000 000 10

1,00000

00000 00000 5

0,00000

00000 00000 2

0,00000 00000 00000 5

1,00000

00000 00000 02

0,00000

00000 00000

«

0,00000 00000 00000

Summe

0, 1049 1

Ol 186 33828 4

0,24156 44752 70490 4

log 4

0, 60205

99913 27962 4

I; 38629 4361 1 19890 6

log »

Of 49714 98726 94134

1, 14472 98858 49400 Ä

Ef ist also

log Brigg. » = o, 49714987269413

log nat. « = I, 14472988584940
Bei der umgel^ebrten Aufgabe: Zu einem gegebenen LiOgaritbmen die su*
gebörige Zahl zu finden , zieht man von demselben den nächstMeineren
Logarithmen der Tafel ab, von dem Reste wiederum den säcbatklei-neren^
so lange dies möglich ist; nimmt hierauf die den abgezogenen Logarith-
men in der Tafel entsprechenden Zahlen und erhält durch Multiplication

■^«^^

XVI

derselben die gesuchte Zahl. Z. B. Wenn aus log nnt h = i der Wcrth
von h gefunden werden soll, so erhält man durch folgende Rechnung die
cinÄelnen Factoren

Iiogarithmen

Factoren

lyOOOCO oooco ooooo o

0,69314 71805 59945 3

2

0;3o6ö5 28194 40054 7

0,26236 42644 67491 I

ifS

0, 04448 85549 72563 6

0,03922 07131 53281 3

1,04

0,00526 78418 19282 3

0,00498 75415 "039 I

1,005

0,00028 03003 08243 2

0, coor9 99800 02666 3

I, 0002

o,ococ8 03203 05576 9

0,00007 99963 00170 7

1,00008

0,00000 03235 05406 2

0,00000 02999 99955

I, 0000003

0,ODCOO 00235 05451 2

0,00000 00199 99999 8

1/ OOOOOOOj^

0,00000 00035 05451 4

Die iihrigen Factoren

1,00000 0003
1,00000 00005
1,00000 ooooo 05

m

I, oocoo ooooo 004
1,00000 ooooo 0005
1/ ooooo ooooo OOOOI
1,00000 ooooo 000004

ergehen sich, wie man leicht sieht, ohne weitere Suhtraction. Die Multi-
plication der Factoren, die nur bis zur sechszehnten DecimaUtelle ausge-
führt zu werden braucht, gieht das Product 2,7182818284590447, so dafs
also die Grundzahl der natürlichen Logarithmen

h = 2,718281828459045
Die Hülfstafel hann übrigens auch auf eine bequeme Weise zur Interpo-
lation bei Logarithmentafeln von lo und mehr Decimalstellen. dienen.

' xvii

7-
8.

IS-
Formeln für die Kreisfunctioneii«

Sin a* 4" Co* a* =3 I ; Sin a = ITl — Cos a* ; Coi a = T"l — Sin a\

_ Sin a ^ Cos « ,», ^

Tang a = ^^ ; Cotg a = ^, ; Tang a. Cotg a = i.

3. Sin a = T*

OS a
I — Cos 2 a

Tang a

ri + Cotg a»-

c- T i^ . 2 Tang i a ? Cofp l a

= 2 Sin ia..Cof «a =3 — r-rr> i % = — T": T^

' ' I + Tangia* l + CoL^^a*

^ Sin 2 a

Cos a = • =

3oina

Cotg a

5. TMi6a = T'

l+lang^a* ^otg^a^+I » •

c^ i Kl 4- Sin 2 a -|- 7 T"l — Sin 2 «•

I — Cot 2 rt Sin 2 a i — Cot 2 a 2 Tang ^ a

I + Co« 2 a I + Cos 2 a Sin 2 a I — Tang ^ o*

2 Cotg i a
^ r^ . IT I 4" Cot 2 a I 4- Cot 2 a Sin 2 a l — Tang l a»

O* Cotg a = f p; = — ... = v^ S= TT r=

^ 1 — Cot 2 a bm 2 a i — Cos 2 a 2 1 aug ^ a

_ Cor g ; n*— r

2 Cotg i a •
1 + Sin a = 2 Sin (45** ± i «)*•

I + Sin a Cot a _ ^^..v ^ ^^

I 4 Tang a Cotg a 4- I „ I + Sin 2 a __^ Sin ^4^^ + n)

'®* I — Tanga Cotg a — i ~ ' I —Sin 2 a bin (^45^ — aj
= Tang (450 + a) = Cotg (45° — «)•

11. Sin (a ±h) = Sina • Cos b 4^ Cot a • Sin b.

12. Cot (a +. t) = Cos a . Cos b If Sin a • Sin b,

rr r j. IX Tnng a ± Tang ^ _ Cotg b ± Cotg a

13. Taog (a ± 6) = , - Tang a . 1 ang A " Cotg u . Cotg b + i*

, Cotg a . Cotg ^ T I _ I T Tang o » Tang b

14- Cotg (a + 6) = -Cotg'r+ Cot^ ~ Tang « + Tang 6 '

15. Sin a . Sin t = i Cos (a — 6) — i Cot (a + 0-

16. Cota . Cost = i Cos (a — fc) + i Cos (a + i).

17. Sin a . Cos 6 =± i Sin (a + b) + ^ Sin (a — i>
18- Cos a . Sin i = i Sin (a + i) — i Sin (a — fc>

xvm

19. Sin A 4- Sin t SS S Sin * (a -(. &) . Cot l(a ^ h).

50. Sin a — Sin b SS 2 CoB i(a + h)^ Sin i (a — b).

51. CoflA + Cot b =s 2 Cos I (a + &) • Coi i(a — b).

S3. Cof b — Cos a E=5 3 Sin i (a + b) > Sin ^ (^ "^ 0*

. -, * Sin C« + ^)

113. Tang a ± Tang b = c ö^ ^ , Cos V

, ^ , Sin C* + fl)

24. Cotg a i Cotg i = s--^7-4.

«. Co^g « ± Tang b = 3^^^^^.

^ ^ « . Cos (rt + 4)

27. Cotga. Cotgl±x = 3-77sd-

aS. Sin (a + i) . Sin (« — *)= Sin a* — Sin i* s j Cos 2 I^ — - 1 Cos 3 n.

29. Cos(a4-i). Cos(a — 4) =r Cos a* — Sin i* s= ^ Cos 2 i + i Cos 2 a.

30. Sin (a±^ i) . Cos (ß±b) = | Sin 2 « ± | Sin 2 &•

Formeln der Trigonometrie.

Die Winkel des Dreiecks werden mit yf, B, C» die denselben gegen-
überstehenden Seiten mit a^ b, c bezeichnet; 2^ ist die Fläche
des Dreiecks.

Gege-
ben

!• Das rechtwinklige ebene Dreieck (£=90®).

Formel.

Ge-
sucht

I

Afi,h,¥
a,h,F

T"fi^=T=Cot«BiC = g;^ = gjj-5=:ra* + 6-F=äaft.

Sin A =— =rCotB;i=aColg^=cCo»>f=yc» — 6»5F=ja5.

asscSiaAlb = c Co« A ; F=z J c* Sin 2 A.
bzs a CotgA'y c = —^ > F = J a* Cotg -<f.

2. Das ebene Dreieck im Allgemeinen.

a,h,c

A,F,

MlMM«

ben

m,b,C

c,h,ji

^fA,B

Ge-
sucht

B,e,C^

h,e,C,F

Formel.

a^h

Sin^

3« Das rechtwinklig^ spb^irische Dreieck (C^=90^).

Cofg A r= Cotg a.Sin h ; Cotg B = Cotg5. Sina ; Coa c
Sin A sz Sin a : Sm c } CosB = Tang a.-Cotgc ; Co« i
Sin B = Cos^ : C03 a *, Sin & r= Tang a.Cotg^ ; Sin c :
Cos A =• Cos a . Sin B ; Tang b = Tang B . Sin a ; Cotg c
Sin a = Sin c.Sin ^ ; Tacg ß =:,Tang c. Cos ^ } CotgB
Cos a = Cos A : Sin B ; Cos b = Cos B : Sin ^ } Cos e =
Wenn 5 die ganze Kugeliläche ist, so ist

720*

Cos a . Cos b»
Cos c : Cos a.
Sin a : Sin A,
Cotg n. Cos B.
= Cos C.Tang ^.
Cotg ^.Cotg B.

5.

4. pAt xecIitBextige sphärische Dreieck (c's=s^o^)*

iCotgA.SinB-.Cotgbz
Sin^ : SinC; Cos&r=
Cos a : Co»A ; Sin B=
Cos ^. Sin b'y TangB
Sin C.Sina ; TangB:
Cos a : Sin b ; Cos B =
A-^B-hC

P =

= CotgB.Sin^; CosC^ICos^. CosB.

— Tang u^. Cotg C;Co8B = —CosC: Cos -^.

Tang ^. Cotg a ; SinC=Sin^ : Sina.
= Tang b . Sin A ; Cotg C= — Cotg A . Cos 5.
= — Tang C. Cos a;Cotg5=— Cos C.Tang fl.
= Cos & : Sin a i Cos C=— Cotg a. Cotg ^.
— ISO» „

5* Das sphärische Dreieck im Allgemeinen.

a,b,c

ii,b,C

A,B,c

Cos A — Cos a — Cos b . Cos g ^

""" Sin h . Siji c '

Sin « ^— y g'" H« -H ^ — Sin } (a — ^-1-0 ,
' "" ' Sin ft.Sin c ' .

Cos I ^= y-SinJ^fljM + c)^;n i (— g + ^-fO
* ' Sin Ä. Sin c

I Sin c • Sin A ^ Sin a . Sin C ;

II Sin c. Cos^ =1 Cos a . Sin 6 — Sin a . Cos 5. Cos C;

I* Sin c.Sin B = SinÄ.Sin Cj

II* Sin c.Cos B = Cos 6. Sin a — Sin 5. Cos a.Cos C}

III Cos c = Cos o. Cos b 4- Sin a .Sin 5. Cos C;

Die Division Yon II durch I giebt Cotg A und Sin c, die von II* durdi

I* ebenso Cotg B und Sin c ; aus III erhält man unmittelbar Cot €.

XX

Gege-
ben

Ge-
sucht

//

A,B,c

a,h,A

ji,B,a

A,B,C

a,h,C

B,Cye

h,c,C

Formel.

I .... Sin i c.Sin | (^ — B) t= Cos jC. Sin } (a — &)i

II .... Sin J c.CoaJ (^ — ß) = Sin JC.Sin } (a + fc);

I[I .... Cos} c.Sin I (^+ fl') = Cos|C.Cos | (a — *);

IV ... . Cosj c.CosJ (A + B^ == Sin iCCosf '^a + h);

Aus I und II erhält man Tang | (^— B) und Sin } c, aus TII and IV
Tang i {J + B) und Cos } c, also | (^ — B) und J (A -^ B) und
hieraus ji und B\ aufscrdem aber zwei Werthe für J c, deren lieber-
einstimmung eine Controlle der Rechnung ist.

1 Sin C. Sin a == Sin A . Sin r;

II .... . Sin C.Cosa = Cos i^.Sin B + Sin ^.Cos B. COs c;
I* . . . . . Sin C.Sin b = Sin Ä . Sin c;

II* Sin C . Cos * = Cos B . Sin A + Sin B . Cos ^ . Cos c ;

III Cos C = — Cos ji .CosB + Sin -<^.Sin B. Cos c;

Die Division von II durch I giebt Cetg a und Sin C, die von II* durch
^l* ebenso Cotg Jr und Sin /; aus III erliält man unmittelbar Cos #f

I .... Sin 5 C.Sin { (a + 6) = Sin | c.CosJ (u^ — B);
II . . . . Sin J C. Cos J Ca + &) = Cos i c. Co^ 5 (yT + B) ;

III ... . CosJ C.Sin § (a — Ä) = Sin } c.Sin | C^ — B);

IV ... . Cos| C.CosJ C« — ^) = Cos} c.Sin | (^4-B);

Aus I und II erhält man Tang } (a + b^ und Sin § C, aus III und IV
Tang i (a-^b') und Cos J C, also | (a + ft) und } (a — i) und hier-
aus a und 6; aufserdem aber rwei Werthe für | C, deren Ueberein-
Stimmung eine Controlle der Rechnung ist.

«. « Sin b , Sin ji

Sm B = ^7

bin a

_ Cos } (g — &)

Cos j(u^+B ) ^ ,. j .X Sini(v^+B)^
T-°ß ä ^ = C^U:7:rB) Tang | (a + 5) =: gj^-J^^ Tang J (^a^by,

Sin 5 =

Sin B . Sin a

Sin A '
Tang i C und Tang j c wie vorher.
Cos-^+ Cos B. Cos C
Sin ^.Sin B *

Cos a = ,

Qfn I « — y-Cos ^C^ + B + C).Cos} (-^-|.B+C) .

cosia=r ^-sf-^-^ .-t--q.^-^

■ Sin B . Olli C

7»3*

I.

Briggische

Log

a r 1

t h

m e n

der Zahlen

Ton I bis 1080 0»

N. I03; li. oOt

N. i62i L. 20.

N. 3Z3t th 34.

N. 3451 L. 53.

N. 4<3: L et.

N. j8j; L. 76-

N. ;roi) L. 84.

N. 94» i L. 97.

N. ioo5{ L. ooo.

N. 1063 ; L. 026.

Tafel «iniger oft vorkommender Logarithmen.

Log. Ton giSo" oder 1296000" • 6itis6r

I.og. von 241" oder 86400" 4-93Ö5I

Log. de* BogCDi, der dem HalbmeMer gleich »C 5/3^445

Log. der Zahl « oder 3,1415927 0,49715

Log. des Inhalt! sine* Kreiiei, deuen Durchmeiser I ist 9r895^

Log. de* lobalti einer Kugel , deren DurolimeMer I iit 9,71900

Log. des mittl. HalbmeMen der Erde von 3268159 Toiiea • • ■ • 6,51430

Log. dei mittl, Grade* der Erde von 57040 Toiien 4r75^'^

Log. dei trop. Jahr» von 365'5''48'54" SfifiasS

Log. dea lid. Jahr« von 3Ä5'6*'q'i5" 2,50260

Log. dea täglichen Vorrücken« der Nschtgleicben

iür 0» jähtlicbe Ton 50"! 9fi3726

der natürlichen Lpgarithmcn
« 3,718 881 8a8 459 045 ■■ •

l| »f 3<» 585 092 ■ • ==
a 4# 605 170 185 •■ =

3 6,907755 a78-- =

4 9»3'o 340 371 ■• =
511,513 935 464 ■■ =
6|i3,8i5 510557. =
7|i6, 118 095 650 •• =
818,420 680 743 ..
9!ao/ 733 365 836 • •

log. nat. 10
log. nat. 10*
log. naL 10'
log. nat. to^
log. nat. lot
log. nat. IG«
log. nat. jo?
log. nat. jo*
log. nat, 10*

VielTache d» Modutii

Loglrithi

110,434 394 48 r
3 0, 868 588 963
3if3oa 883 445
41-737 »77 927
5I2, 171 473 409
63,605 766 891
73,040 061 373
83, 474 355 855
95, 908 650 337

der BrSggiuhen

= log. Brigg, t
. = log. Brigg, h»

• = log- Brigg, h»

• = log- Brigg. h4
. = log. Brigg, hl
. = log. Brigg, h«

• ^ log. Brigg, bf

■ = log. Brigg, h«

■ ^ log. Brigg, h'

Uha«»-

II.

B r i g g i s c Ii e

Log

a r 1

t li m e n

der

Sinns nnd Tangenten

von Minute zu Miuiile

für alle Giade des QuadrantcOr

■«i«m^ai^^bwMteMaB^«iaaM«M^MB«Mrifa.«i«fcrt«^irMMw«>^apirfkaMBrfMi

m»mmmmmtmt^^mi»m

c

GRAD.

,

*iia

A. Tang d.cj Cotg Cos

Tff

ftf

Ttf

~it

^■0657^

■<ö>5Hl,Jl-9Ml'' 9-99997

10

1^75?^

;"; i.g6'6i ?3i.93i39 9-99997

50

10

50

30

i^K^

^*-06q4.3--93059 9.99997
,isS.071X,;^i-92gRC,l9-99'»97

40
30

30
30

40

30

S-tyjif

40

iajir-

,71,1.0729^178

1.9:70:19-99997

20

40

20

50
41

»■o:■^7^^

1.9:^2-119.99997

1-9234: 19-99997

10
19'

50

5t'

10

9 '

107651^

10

s«7Safi

1-9:>71, 9.99997

30

50

10

SJ3W0-.

1.9 1995 !9-99997

40

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